Curieux ce titre, non ? Je ne sais  pas si c’est la  fameuse (fumeuse ?) main de Thierry Henry dont on nous rebat les oreilles ces derniers jours qui m’inspire, mais je vais indirectement vous parler de football. Indirectement, car il s’agit de mathématiques avant tout (vite, réanimez les Mycroft et les Kae !! ^^).

Pourquoi la surface d’un ballon de football est-elle constituée d’hexagones et de pentagones ? 

En fait, ce motif est le résultat de la combinaison de deux théorèmes. Celui de Carl GAUSS qui démontre en 1828 qu’on ne peut pas aboutir à une sphère parfaite via un objet plat, mais à un volume pétri de déformations et de plis disgracieux.

Le soucis majeur des fabricants était d’obtenir une balle gonflable résistante et aussi sphérique que possible. Leur idée était donc d’opter pour un assemblage de grandes formes géométriques qui leur éviterait  de longues coutures et parviendrait à rendre le ballon dynamique et à l’épreuve des coups. Mais là est le hic. Quelle(s) forme(s) utiliser ?

C’est le théorème de René DESCARTES qui apporte la réponse en 1635 (même si ce théorème est nommé formule d’Euler après que ce dernier se le soit approprié un siècle plus tard). Cette formule raconte en gros (je ne suis pas spécialiste des maths, hein !) que pour tout objet formé de polygones, la somme du nombre de faces et de coins est égale au nombre de bords +2 (je vous rassure, au début j’ai moi aussi relu la phrase).

Ainsi, en appliquant ces données, on se rend compte qu’il faut 20 hexagones et 12 pentagones pour aboutir à une sphère élémentaire. Autrement dit, Thierry Henry a touché de la main un icosaèdre tronqué.

Voilà, voilà. Pas mal pour un mec qui n’est  porté ni sur le foot, ni sur les maths ! ^^

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Déjà, c’est quoi un alvéole d’abeille (car oui, ce mot est masculin) ? C’est une poche où l’entrée a une forme hexagonale régulière (6 côtés de même longueur) et où le fond est fermé par la juxtaposition de trois losanges identiques. Les alvéoles sont composés de cire et servent à stocker miel, pollen, œufs et larves.

Des petites images pour avoir une meilleure idée à quoi tout ça ressemble.

Voici la représentation de l’alvéole dans l’espace. L’entrée est ici en bas ; le fond est donc en haut.

Vu d’en haut, le fond avec ses trois losanges ressemble à ça :

Maintenant, on attaque l’essentiel. Pourquoi l’entrée est en forme hexagonale régulière ?

Parce qu’il s’agit de la forme géométrique permettant de paver le plan et possédant le plus petit perimètre ; c’est donc un gain de cire ! Ça a été formellement démontré en 1999, mais visiblement les abeilles le savaient empiriquement depuis bien longtemps…

Ok, mais pourquoi le fond n’est pas de la même forme ? En l’occurence, pourquoi c’est trois losange juxtaposés ?

Cette fois, il ne faut plus raisonner sur le plan mais dans l’espace. En effet, ce fond avec trois losanges requiert moins de quantité de cire qu’un fond plat hexagonal. De plus, lorsque les alvéoles sont habités par des œufs, cette configuration géométrique permet faciliter l’échange de chaleur entre eux. En gros, ils sont plus proches les uns des autres, plus en tas, et donc se réchauffent entre eux. Il a été démontré que ce fond en trois losanges est une configuration très très proche de l’optimal pour minimiser la quantité de cire nécessaire à sa fabrication. La forme optimale serait un fond composé de deux losanges et deux hexagones qui consommerait 0,35% de cire en moins que la forme avec trois losanges. Bref, elles étaient pas loin : pas folle, l’abeille.

De nos jours, l’industrie utilise sans modération cette configuration « en nid d’abeille » pour faire des structures résistantes et d’une légèreté optimale, notamment en aluminium ou en matériau composite. Décidément, que ferait-on sans les abeilles ?

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