Il s’agit d’une expérience de pensée du mathématicien allemand David Hilbert.
Dans une conférence sur l’infini qu’il donnait en 1925, il a pris l’exemple d’un hôtel imaginaire ayant une infinité de chambres numérotées avec les nombres entiers naturels 1, 2, 3…
L’hôtel de Hilbert est toujours complet, mais quand arrive un client, le réceptionniste lui donne la chambre n°1 et téléphone simultanément à tous les clients pour leur demander de se déplacer dans la chambre suivant celle qu’il occupe (l’occupant de la chambre n déménage dans la chambre n + 1, libérant ainsi la chambre 1 et ne laissant aucun client sans chambre). Ainsi, même quand toutes les chambres sont occupées, on peut encore accueillir un client supplémentaire… Et même, un nombre infini de clients : dans ce cas, le réceptionniste téléphone à tous les clients simultanément en leur demandant de se déplacer dans la pièce dont le numéro est le double de celle qu’ils occupent (l’occupant de la chambre n déménage dans la chambre 2n + 1). Cela libère ainsi toutes les chambres paires et permet de loger chaque client !
David Hilbert illustre ici une propriété paradoxale des ensembles infinis : contrairement à ce qui se passe pour les ensembles finis, une partie stricte peut avoir autant d’éléments que le tout.
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