Partons donc à la découverte de ces fameux nombres pairs. Et comme les chiens ne font pas de chats, sachez que les nombres pairs ne font pas d’impairs !

Nos pères et nos pairs ont eu très tôt conscience de l’opposition pair/impair car dès  500 ans avant Jésus-Christ, Epicharme, poète et philosophe grec l’évoquait de façon poétique avec l’aide de petits cailloux. Tel un petit poucet avant l’heure, il écrivait: « Si tu ajoutes un caillou à un nombre impair de cailloux, ou si tu préfères à un nombre pair, ou si tu enlèves l’un de ceux qui sont déjà là, crois-tu que leur nombre va rester le même ? Non, je ne le crois pas »

Voici quelques repères sur les nombres pairs :

• Ils se terminent tous par 0, 2 ,4, 6, 8 et peuvent être partagés en deux parties égales (2 nombres entiers). Par exemple : 12=6+6 ; 1000=500+500
• Les nombres pairs sont tous des multiples de deux : O par exemple est pair parce qu’il est égal à 2 x 0.
• Seuls les entiers peuvent être pairs; comme pour être père d’ailleurs!

On les ajoute ou les soustrait ?

Une somme ou différence de plusieurs entiers pairs est toujours paire.

Une somme ou différence de plusieurs entiers impairs est paire quand le nombre d’entiers qui la compose est pair et impaire quand le nombre d’entiers de la somme est impair.

• pair ± pair = pair
• pair ± impair = impair
• impair ± impair = pair.

Et quand les pères se multiplient : c’est la fête des pères

Quant au produit des pairs et impairs ?

• pair × pair = pair ;
• pair × impair = pair ;
• impair × impair = impair.

Ne divisons pas les pairs ni les pères, il y a déjà assez de guerres et de divorces !

Par contre remarquons tout de même que dans la nature les animaux et les végétaux ont choisi leur camp : en effet, les végétaux ont beaucoup de caractéristiques impaires, alors que les animaux ont un nombre pair de pattes.

Quant aux pauvres pères victimes de mon impair , je leur envoie  une paire de bisous sonores sur leur 2 joues !

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Eh oui, le tore, c’est cette figure géométrique qui représente un tube courbé et refermé sur lui même :

Voilà, je vous ai quand même donné un bon tuyau !

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Ce signe est connu depuis l’antiquité grecque mais c’est le mathématicien Bernoulli qui lui trouva son nom en 1694 s’inspirant du terme latin lemniscus qui signifie ruban. Je ne parlerai pas plus de son étude en mathématiques car ce n’est pas un sujet que je maitrise. Non, cet article n’a pour seule prétention que de vous informer que le symbole ∞ a pour nom lemniscate. Et si ça vous intéresse, vous pouvez le faire apparaitre dans un texte sous Word en maintenant la touche Alt enfoncée et en tapant 8734.

Voilà. Et comme le dit Buzz, je repars donc vers l’infini et au-delà, mais pas trop loin quand même puisque je vous retrouve bientôt dans le coin !  😉

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Les règles de ce jeu demeurent inconnues malgré de nombreuses théories mais on sait qu’il se jouait à partir de dés . Chaturanga signifiant « 4 corps » de l’armée soit les chars, l’infanterie, la cavalerie et les éléphants. Il perdit ses dés et arriva sur des équipes de deux contre deux et fini en un contre un. L’échiquier prit ses couleurs blanche et noire à son arrivée en Europe. Au XVI°s la reine et le fou connurent quelques modifications majeurs ce qui entraina un jeu plus rapide et rendit la reine la pièce plus puissante (on en déduis donc un déplacement plus limité mais je n’ai aucune certitude sur ce qu’ils en étaient avant). Pour lutter contre leurs effets dévastateurs on vit naitre le roque visant à mettre le roi à l’abri,celui-ci fut suivit pour le premier coup d’un point la possibilité d’avancer de deux cases et de la prise en passant qui en dériva.

En 1850 les pièces prirent le style Stauton. En 1851 à Londres le premier tournoi de ce que l’on qualifie l’ère moderne en honneur de l’exposition universelle. Les échecs seront en 1999 reconnus comme une discipline olympique.

Le XX°s sera dominé par des champions russe de 1937-1972, ces derniers se succèderont jusqu’à l’apparition de Robert James FISCHER (dit Bobby) en pleine guerre froide ce qui prit une certaine dimension politique. Il resta 3 ans champion du monde et l’on vit arriver Karpov et le grand Garry Kasparov. Le premier homme à dépasser les 2800 points Elo et atteint même les 2851 (jamais dépassé encore de nos jours).

Petite parenthèse sur le jeu d’échecs le plus cher au monde pour la modeste somme de 5millions d’euros à ce prix, on en prend tous deux 🙂 (un poids de 2,4Kg d’or et une utilisation d’environ 26 000 diamants blancs et noirs il employa 30 artisans à sa fabrication).

Cependant, j’ai des doutes sur l’étymologie du mot si quelqu’un si connait mieux que moi…qu’il tente^^

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Après une « étude » sur l’origine des échecs je me suis redécouvert cette fameuse histoire très répandue mais dont l’origine est méconnue de beaucoup. :

La légende…. celle-ci voudrait que l’invention des échecs vient du sage Sissa pour un prince indien. Ce denier, pour le remercier, demanda au sage ce qu’il lui ferait plaisir. Le sage rétorqua qu’il voudrait le nombre de grains de riz (blé selon certaines versions mais le riz me semble le plus probable en Inde) nécessaire pour remplir l’échiquier de la façon suivante : 1 grain sur la première case, 2 sur la deuxième (et pas seconde si je me trompe pas), 4 sur la troisième, 8 sur la quatrième… etc en doublant le nombre de grains jusqu’à la 64ième case. Le prince trouva cette demande bien modeste.

En réalité le nombre de grains à réunir est astronomique et irréalisable ! En effet, le nombre précis est 2^64 – 1 (2 à la puissance 64, c’est-à-dire 2x2x2x2x2…64 fois) ce qui donne précisément : 18 446 744 073 709 551 615.(1000grains=30 grammes soit 553 458 000 000 000 Kg ou bien une bonne paëlla géante). Cette légende était déjà connue au moyen âge (mais évidement sans la paëlla) !

Photo : SlayerPhoto

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Eh bien « que néni » vous répondrai-je, et en voici un exemple:
[note: ce qui suit relève de la physique relativiste. Je vais tenter de vulgariser, n’étant moi-même pas un expert, mais je ne voulais pas vous prendre en traître]
Vous avez peut-être déjà entendu dire que la vitesse de la lumière est constante, quel que soit son référentiel càd. que la lumière sortant des phares de votre voiture sur l’autoroute n’ira pas à la vitesse c + 130km/h mais à la vitesse c
(‘c‘ étant la lettre communément employée pour désigner justement la vitesse de la lumière)

Bien, a priori jusqu’ici.. c’est un peu étrange mais on peut vivre avec.. et surtout: quel est le lien avec des évènements simultanés?
J’y viens: effectuons donc la petite expérience suivante
(tirée du livre de vulgarisation L’univers élégant)
Jean est dans un train et Jacques sur le quai de la gare (facile la physique, hein?)
Au moment où le train passe en gare (disons qu’il roule de gauche à droite), Jean allume le plafonnier du wagon qui est situé pile (mais alors super pile poil) au milieu.

Sur le quai, Jacques voit donc des photos partir vers la droite et d’autres vers la gauche (il a une très bonne acuité visuelle) qui vont tous à la même vitesse. Mais comme le train se déplace de gauche à droite, le mur de gauche du wagon se rapproche des photos qui vont vers la gauche tandis que le mur de droite du wagon s’éloigne des photons qui vont vers la droite.
Résultat: les photons qui vont vers la gauche atteindront le mur un chouilla (on parle vraiment de mini chouilla là) avant les photons qui vont vers la droite.
Autrement dit, pour Jacques qui est sur le quai, les deux parois du wagon ne sont pas éclairées pile en même temps.

Vous avez peut-être déjà deviné la suite:
pour Jean qui est dans le wagon, la lampe étant pile au milieu, lorsqu’il l’allume les photons mettent le même temps à atteindre chacun des murs: pour lui l’éclairage de deux murs du wagon est donc simultané.

En conclusion, deux évènements qui sont simultanés pour une personne (ici: Jean) dans un référentiel ne le sont pas forcément pour une autre personne (Jacques) dans un autre référentiel.

Je ne vous promet pas que cette info vous permettra de convaincre un flic de ne pas vous mettre de prune sous prétexte que le feu n’était pas rouge pour vous au moment où vous êtes passé… mais admettez que c’est le genre de pensées qui nous font nous demander si nous connaissons si bien le monde qui nous entoure!!
La prochaine fois, je m’étendrai peut-être sur l’histoire de Fêtnat qui était sagement au wagon bar au lieu de jouer avec les interrupteurs.

Source: l’univers élégant (cité de mémoire) ainsi que mes reliquats de cours de physique

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Curieux ce titre, non ? Je ne sais  pas si c’est la  fameuse (fumeuse ?) main de Thierry Henry dont on nous rebat les oreilles ces derniers jours qui m’inspire, mais je vais indirectement vous parler de football. Indirectement, car il s’agit de mathématiques avant tout (vite, réanimez les Mycroft et les Kae !! ^^).

Pourquoi la surface d’un ballon de football est-elle constituée d’hexagones et de pentagones ? 

En fait, ce motif est le résultat de la combinaison de deux théorèmes. Celui de Carl GAUSS qui démontre en 1828 qu’on ne peut pas aboutir à une sphère parfaite via un objet plat, mais à un volume pétri de déformations et de plis disgracieux.

Le soucis majeur des fabricants était d’obtenir une balle gonflable résistante et aussi sphérique que possible. Leur idée était donc d’opter pour un assemblage de grandes formes géométriques qui leur éviterait  de longues coutures et parviendrait à rendre le ballon dynamique et à l’épreuve des coups. Mais là est le hic. Quelle(s) forme(s) utiliser ?

C’est le théorème de René DESCARTES qui apporte la réponse en 1635 (même si ce théorème est nommé formule d’Euler après que ce dernier se le soit approprié un siècle plus tard). Cette formule raconte en gros (je ne suis pas spécialiste des maths, hein !) que pour tout objet formé de polygones, la somme du nombre de faces et de coins est égale au nombre de bords +2 (je vous rassure, au début j’ai moi aussi relu la phrase).

Ainsi, en appliquant ces données, on se rend compte qu’il faut 20 hexagones et 12 pentagones pour aboutir à une sphère élémentaire. Autrement dit, Thierry Henry a touché de la main un icosaèdre tronqué.

Voilà, voilà. Pas mal pour un mec qui n’est  porté ni sur le foot, ni sur les maths ! ^^

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Déjà, c’est quoi un alvéole d’abeille (car oui, ce mot est masculin) ? C’est une poche où l’entrée a une forme hexagonale régulière (6 côtés de même longueur) et où le fond est fermé par la juxtaposition de trois losanges identiques. Les alvéoles sont composés de cire et servent à stocker miel, pollen, œufs et larves.

Des petites images pour avoir une meilleure idée à quoi tout ça ressemble.

Voici la représentation de l’alvéole dans l’espace. L’entrée est ici en bas ; le fond est donc en haut.

Vu d’en haut, le fond avec ses trois losanges ressemble à ça :

Maintenant, on attaque l’essentiel. Pourquoi l’entrée est en forme hexagonale régulière ?

Parce qu’il s’agit de la forme géométrique permettant de paver le plan et possédant le plus petit perimètre ; c’est donc un gain de cire ! Ça a été formellement démontré en 1999, mais visiblement les abeilles le savaient empiriquement depuis bien longtemps…

Ok, mais pourquoi le fond n’est pas de la même forme ? En l’occurence, pourquoi c’est trois losange juxtaposés ?

Cette fois, il ne faut plus raisonner sur le plan mais dans l’espace. En effet, ce fond avec trois losanges requiert moins de quantité de cire qu’un fond plat hexagonal. De plus, lorsque les alvéoles sont habités par des œufs, cette configuration géométrique permet faciliter l’échange de chaleur entre eux. En gros, ils sont plus proches les uns des autres, plus en tas, et donc se réchauffent entre eux. Il a été démontré que ce fond en trois losanges est une configuration très très proche de l’optimal pour minimiser la quantité de cire nécessaire à sa fabrication. La forme optimale serait un fond composé de deux losanges et deux hexagones qui consommerait 0,35% de cire en moins que la forme avec trois losanges. Bref, elles étaient pas loin : pas folle, l’abeille.

De nos jours, l’industrie utilise sans modération cette configuration « en nid d’abeille » pour faire des structures résistantes et d’une légèreté optimale, notamment en aluminium ou en matériau composite. Décidément, que ferait-on sans les abeilles ?

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Mathématiquement, il existe une infinité d’infinis différents. Mais il en existe au moins deux qui sont assez naturels et faciles à expliquer. Prenez l’ensemble des entiers naturels : 0, 1, 2, …, 42, … Comme vous le savez, cet ensemble est infini, cést-à-dire que cette suite de nombre ne s’arrête jamais. On sait qu’il s’agit du plus petit infini possible. Prenez maintenant l’ensemble des nombres réels : 0; 0,1; 0,2; …; 1; …; 42,2346583; … Comme l’ensemble précédent, si on prend au hasard un nombre dans cet ensemble, on peut toujours trouver un nombre plus grand. Par contre, contrairement à l’ensemble des entiers naturels, si vous prenez deux nombres au hasard, disons a et b, vous aurez toujours des nombres i compris entre a et b : a < i < b. Même mieux, il y a une infinité de i !

En effet, dans l’ensemble des entiers naturels, si vous prenez 0 et 1, il n’existe aucun nombre entre eux. Dans l’ensemble des nombres réels, si vous prenez 0,1 et 0,2 il existe 0,15 entre eux. Si vous prenez 0,01 et 0,02, il existe 0,015. Ainsi de suite.

On peut dire qu’en quelque sorte, l’infinité du nombre des nombres réels est infiniment plus grand que l’infinité du nombre des entiers naturels…

Si vous avez mal à la tête, arrêtez-là. Sinon, bonus pour les autres :

On pense qu’il n’existe pas d’autres infinités situés entre ces deux là, donc que l’infinité des entiers naturels est la plus petite infinité possible (ça, on en est sûr) et que l’infinité des nombres réels vient juste après (on le pense, ça s’appelle l’hypothèse du continue). Quoi qu’il en soit, les infinités sont des notions difficiles à comprendre. Prenez par exemple tous les entiers naturels : 0, 1, 2, 3, … Multipliez chaque nombre par deux, et vous obtenez 0, 2, 4, 6, … Il a été démontré que cet ensemble obtenu est aussi grand que l’ensemble de départ avec tous les entiers naturels !

Maintenant, je vous laisse à vos réflexions…

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Avant de rentrer dans les détails, j’aimerais montrer l’aspect mathématique de la bête.

Considérons un segment délimité en deux parties de longueurs a et b. Ces longueurs respectent la proportion d’or, si et seulement si, a/b=(a+b)/a.

De là, on peut obtenir (en modifiant l’équation) : (a/b)²-(a/b)-1=0

Le nombre d’or, représenté habituellement par la lettre phi (φ), désigne ainsi la solution positive du trinôme x²-x-1=0 soit (1+√5)/2 (ce qui vaut approximativement 1.618….).

Il est étroitement lié à la suite de Fibonacci (suite définie par la relation U(n+2)=U(n+1)+U(n)) : 1,1,2,3,5,8,13,…En effet, on remarque qui si on effectue le quotient des termes consécutifs, le résultat tend vers φ : 2/1=2, 3/2=1.5, 5/3=1.666…., (et ainsi de suite). Pour les plus matheux, si on y regarde de plus prés, on remarque que la suite converge vers φ, mais de manière non monotone (elle passe des deux cotés de 1.618 avant de l’atteindre : 1.5<1.618<1.666).

Cette proportion permet de créer des formes géométriques dites « dorées ». Parmi les plus connues, le rectangle, le triangle et la spirale d’or.

Maintenant que vous savez ce qu’est le nombre d’or, voyons pourquoi il est si captivant.

Le nombre d’or s’appellerait phi en l’honneur du sculpteur grec antique Phidias,  qui voyait en lui une dimension « belle » et donc divine. Il l’utilisait dans ses créations, ce qui fait qu’on le retrouve dans les ornements du Parthénon par exemple. Cependant, Phidias n’a pas eu le monopole de l’utilisation du nombre d’or, loin de là ! Pour n’en citer qu’un, l’un de nos plus célèbre architecte l’utilisait aussi dans ses constructions : Le Corbusier. Il a même dessiné un homme respectant le rapport vu plus haut (Il semblerait même qu’on la retrouve dans la carte bleue)

Plusieurs mathématiciens ont traités du nombre d’or, mais au XV ème siècle, le moine italien Pacioli écrivit « De Divina Proportione » et l’illustra avec des planches dessinées par De Vinci. Ce manuscrit reste l’une des sources les plus connues qui traite du nombre d’or.

Pour autant, personne n’a jamais prouvé que le fait de posséder le nombre d’or rendait beau donc rassurez-vous, même si votre entrecôte ne contient pas le nombre d’or, vous  vous régalerez quand même  😉

PS : Pour les constructions, ce site est extrêmement bien fait : http://pagesperso-orange.fr/therese.eveilleau/pages/truc_mat/textes/triangle_dor.htm

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