Phi ou le nombre d’or

phiCeux qui ont lu (ou vu) « Da Vinci Code » de D. Brown, reconnaîtront quelques termes qui vont être utilisés dans cet article 🙂

Avant de rentrer dans les détails, j’aimerais montrer l’aspect mathématique de la bête.

Considérons un segment délimité en deux parties de longueurs a et b. Ces longueurs respectent la proportion d’or, si et seulement si, a/b=(a+b)/a.

De là, on peut obtenir (en modifiant l’équation) : (a/b)²-(a/b)-1=0

Le nombre d’or, représenté habituellement par la lettre phi (φ), désigne ainsi la solution positive du trinôme x²-x-1=0 soit (1+√5)/2 (ce qui vaut approximativement 1.618….).

Il est étroitement lié à la suite de Fibonacci (suite définie par la relation U(n+2)=U(n+1)+U(n)) : 1,1,2,3,5,8,13,…En effet, on remarque qui si on effectue le quotient des termes consécutifs, le résultat tend vers φ : 2/1=2, 3/2=1.5, 5/3=1.666…., (et ainsi de suite). Pour les plus matheux, si on y regarde de plus prés, on remarque que la suite converge vers φ, mais de manière non monotone (elle passe des deux cotés de 1.618 avant de l’atteindre : 1.5<1.618<1.666).

Cette proportion permet de créer des formes géométriques dites « dorées ». Parmi les plus connues, le rectangle, le triangle et la spirale d’or.

Maintenant que vous savez ce qu’est le nombre d’or, voyons pourquoi il est si captivant.

Le nombre d’or s’appellerait phi en l’honneur du sculpteur grec antique Phidias,  qui voyait en lui une dimension « belle » et donc divine. Il l’utilisait dans ses créations, ce qui fait qu’on le retrouve dans les ornements du Parthénon par exemple. Cependant, Phidias n’a pas eu le monopole de l’utilisation du nombre d’or, loin de là ! Pour n’en citer qu’un, l’un de nos plus célèbre architecte l’utilisait aussi dans ses constructions : Le Corbusier. Il a même dessiné un homme respectant le rapport vu plus haut (Il semblerait même qu’on la retrouve dans la carte bleue)

Plusieurs mathématiciens ont traités du nombre d’or, mais au XV ème siècle, le moine italien Pacioli écrivit « De Divina Proportione » et l’illustra avec des planches dessinées par De Vinci. Ce manuscrit reste l’une des sources les plus connues qui traite du nombre d’or.

Pour autant, personne n’a jamais prouvé que le fait de posséder le nombre d’or rendait beau donc rassurez-vous, même si votre entrecôte ne contient pas le nombre d’or, vous  vous régalerez quand même  😉

PS : Pour les constructions, ce site est extrêmement bien fait : http://pagesperso-orange.fr/therese.eveilleau/pages/truc_mat/textes/triangle_dor.htm

A propos de l'auteur

Mycroft

Mycroft est le frère du célèbre détective Sherlock Holmes. C'est une sorte de "culturegénéralivore", qui prend tout ce qu'on lui propose, même si les sciences et la technologie restent son domaine de prédilection.
Son péché mignon sont quand même les informations qui ne servent à rien, du style, le mot le plus connu au monde est "OK", le second est "Coca-Cola" :)

15 commentaires

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  • Je crois que cet article est un peu trop « maths » et pas assez … »culture générale », non :S ?

  • Je crois que je ne vais surprendre personne si je dis que le sujet m’intéresse ^^

    Au passage, une autocritique : je ne sais pas lire :-/ Tu parlais de suite dans ton précédent commentaire, et j’avais lu « série »…

    Je trouve que ça fait parti de la culture générale de savoi que ce nombre existe et qu’il est très présent dans certaines peintures de Botticelli, Cézanne, Monet, Raphael, … On le retrouve aussi dans la nature par le biais de la suite de Fibonnaci : le nombre de spirales horaires et antihoraires dans un pomme de pin sont souvent deux nombres de fibonacci successifs, ainsi que les spirales du coeur d’un tournesol. La spirale formée par le coquillage d’un nautile est aussi proportionnel au nombre d’or.

    Il faut faire attention toutefois au syndrome « je-vois-le-nombre-d’or-partout ». Il est en effet pas si difficile de trouver quelques mesures, parfois farfellues, dans un tableau, une sculture, un bâtiment, …, qui vérifient les divines proportions. Ça réponds à un adage auquel je tiens : « quand on cherche, on trouve ».

  • Pour les amateurs de fruits et légumes, les choux romanesco formeraient des spirales d’or, aussi étudiés en théorie fractale, il me semble.
    Par ailleurs bastien, aurais-tu gardé une trace de article sur le « bleu » que je t’avais envoyé avant de m’inscrire ?

    PS : Je savais qu’il allait te plaire cet article Kae 😉

  • Eh oui, ce fameux nombre d’or est vraiment formidable ! Comme mycroft le dit, en cherchant on trouve toujours. Mais il arrive parfois que le nombre d’or soit présent par volonté.

    Par exemple, je fais du webdesign et j’ai remarqué que sur le site d’Apple, le nombre d’or est utilisé, d’où son utilisation agréable. Vraiment rien est laissé au hasard parfois.

    Faites le rapport de la largeur du corps principal sur l’addition des largeurs des deux colonnes dans une des pages où cette structure est employée, vous verrez ! 😉

  • Scusez moi bien mais dans les réponses du test, le renvoi vers l’article « Phi ou le nombre d’or » comporte une faute d’orthographe : où avec un accent.

  • Pour plus d’info, les positions les plus confortables sur une chaise ont étées définies y’a pas si longtemps que ça avec l’utilisation du nombre d’or^^
    Un nombre à tout faire on dirait, article très intéressant ! Pour ceux qui voudraient aller voir un peu plus loin, vous pouvez jeter un coup d’oeil à ce site vraiment détaillé : trucsmaths.free.fr
    Bonne continuation 🙂

  • Tu n’explique pas la propriété particulière de la proportion dorée. Propriété qui est à mon avis à l’origine de la fascination pour ce nombre. Je m’explique : si tu traces un rectangle dont le petit côté mesure 1 et le grand côté 1,618 tu pourras constater une particularité notable : si sur le grand côté tu détermines un point distant de 1 du petit côté et que de ce point tu élève une droite perpendiculaire au grand côté tu délimite deux zones rectangulaires. L’une des zones, la plus étendue, est un carré. L’autre est un rectangle qui lui-même est doré. Tu peux donc répéter l’opération sur ce nouveau rectangle doré et ceci à l’infini. C’est la seule proportion qui permet ceci. Et c’est ce qui explique que dans des phénomènes de croissance naturelle elle ait été sélectionnée au cours de l’évolution.

  • C’est vrai que la propriété du nombre d’or est son infinité dans la proportion. Mais niveau exemple on a aussi la pyramide du louvres qui est proportionnelle à la grande pyramide de gizeh donc les deux sont dorées. Sauf que les egyptiens d’après les archéologues et autres chercheurs de l’egypte affirment qu’ils ne connaissaient pas le nombre d’or. Voilà c’était juste pour mettre en éveille implicitement certaines questions. bonne recherche !!

  • venousto prezydent de la terre
    on vote toute les decision des dirigeant par le peuple
    le peuple vote chac decision des dirigeant
    le pouvoir entre les main des gens du peuple
    votons chac loi de nivo vitale

    phi-phi=phj-phj=phk-phk=phiphjphk=a+bphi+cphj+dphk

    2phi-1phi=1phi+1(0phi=1)

    ii=jj=kk=ijk=a+bi+cj+dk

    nu=iphi

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