Il y a plusieurs infinités différentes

Ce billet pas si court peut être considéré comme faisant parti de ma serie de billets soulignant des fausses idées tenaces en science. Beaucoup de personnes estiment que la notion d’infini est homogène, je veux dire par là qu’ils pensent qu’il n’existe qu’un seul type d’infini. La vérité est plus subtile que ça. N’ayez pas peur, ce billet ne sera pas technique et se veut de donner une idée des choses la plus intuitive possible.

Mathématiquement, il existe une infinité d’infinis différents. Mais il en existe au moins deux qui sont assez naturels et faciles à expliquer. Prenez l’ensemble des entiers naturels : 0, 1, 2, …, 42, … Comme vous le savez, cet ensemble est infini, cést-à-dire que cette suite de nombre ne s’arrête jamais. On sait qu’il s’agit du plus petit infini possible. Prenez maintenant l’ensemble des nombres réels : 0; 0,1; 0,2; …; 1; …; 42,2346583; … Comme l’ensemble précédent, si on prend au hasard un nombre dans cet ensemble, on peut toujours trouver un nombre plus grand. Par contre, contrairement à l’ensemble des entiers naturels, si vous prenez deux nombres au hasard, disons a et b, vous aurez toujours des nombres i compris entre a et b : a < i < b. Même mieux, il y a une infinité de i !

En effet, dans l’ensemble des entiers naturels, si vous prenez 0 et 1, il n’existe aucun nombre entre eux. Dans l’ensemble des nombres réels, si vous prenez 0,1 et 0,2 il existe 0,15 entre eux. Si vous prenez 0,01 et 0,02, il existe 0,015. Ainsi de suite.

On peut dire qu’en quelque sorte, l’infinité du nombre des nombres réels est infiniment plus grand que l’infinité du nombre des entiers naturels…

Si vous avez mal à la tête, arrêtez-là. Sinon, bonus pour les autres :

On pense qu’il n’existe pas d’autres infinités situés entre ces deux là, donc que l’infinité des entiers naturels est la plus petite infinité possible (ça, on en est sûr) et que l’infinité des nombres réels vient juste après (on le pense, ça s’appelle l’hypothèse du continue). Quoi qu’il en soit, les infinités sont des notions difficiles à comprendre. Prenez par exemple tous les entiers naturels : 0, 1, 2, 3, … Multipliez chaque nombre par deux, et vous obtenez 0, 2, 4, 6, … Il a été démontré que cet ensemble obtenu est aussi grand que l’ensemble de départ avec tous les entiers naturels !

Maintenant, je vous laisse à vos réflexions…

A propos de l'auteur

Kae

Kae est un petit hibou curieux de (presque) tout et contribue de temps en temps au site www.culture-generale.fr quand son emploi du temps le lui permet. Il a comme principal intérêt des questions liées de près ou de loin à la science mais reste ouvert et intéressé par bien d'autres choses.

Comme tous les hiboux, il n'est pas infaillible, même dans son domaine de prédilection. Il prie donc le lecteur de se montrer indulgent envers ses articles mais sera toujours heureux de voir des commentaires soulignant des erreurs ou apportant des précisions !

72 commentaires

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  • Déjà que la chaleur d’aujourd’hui m’a fichue un sérieux mal au crâne, toi t’en rajoutes une couche ! Merci ! Ah, ah !

  • tu dis que l’infinité des entiers naturels est la plus petite infinité possible. Seulement il y a une infiniité de nombre premiers. Or si on suit ton raisonement, comme il y a moins de nombres premiers que d’entiers naturels, l’infinité des nombres premiers me semble plus petite. non?

  • cosmocat > c’est ce que je me disais aussi, pourquoi l’ensemble des entiers pairs par exemple n’est pas un infini plus petit. mais d’après le dernier paragraphe de l’article, ça a été démontré que les deux infinis étaient de « même taille » (drôle de notion quand même)…

  • Il me semble (et Kae me corrigera ou sera plus clair que moi) que les cas des nombres premiers et des nombres pairs ne sont pas valables car ils font déjà partie des entiers naturels ( que ce soit 2, 13, 2003, etc…). Donc leurs infinis sont compris dans celui des entiers naturels qui est lui-même infini et sont ainsi de même taille (J’ai peur de me perdre avec tout cet espace 🙂 ).

    philippe> Dans le style infiniment complexe et intéressant, le paradoxe de Zénon d’Élée : Une flèche est tirée, et avant d’atteindre la cible, elle doit parcourir la moitié de la distance, puis encore la moitié de la distance restante, et ainsi de suite. On a donc une somme infini de distance fini et la flèche semble donc ne jamais atteindre la cible (Là, je laisse le soin à Kae de résoudre ce joli casse-tête 😉 ).

  • Waow, j’avoue que pour un billet sur ce sujet, je ne m’attendais pas à une telle avalanche de commentaires. Je vais essayer de les traiter dans l’ordre.

    Désole Billx. Je me doutais que ce billet ne te plairait pas trop :-p

    Bastien : n’hésite pas à me demander en privé des infos si le billet n’est pas clair et que le sujet t’intéresse ^^.

    Mycroft : OUI ! En plein dans le mille ! Impressionnant pour un lycéen je dois dire ! En effet, le cardinal aleph_0 corresponds à la cardinalité de l’ensemble des entiers naturels. Aleps_1 est la cardinalité de l’ensembles des réels. Ainsi, l’hypothèse du continue est la suivante : Est-ce vraie que aleph_1 est égal à 2 puissance aleph_0 ?

    cosmocat : c’est une très bonne question. En effet, il y a une infinité de nombres premiers, mais c’est une infinité dénombrable, c’est-à-dire que l’on peut les énumérer. Or, si les nombres premiers sont aussi dénombrables, cela signifie qu’il existe une bijection entre l’ensemble des nombre premiers et l’ensemble des entiers naturels, c’est-à-dire qu’à chaque nombre premier on peut faire correspondre un entier naturel (et reciproquement). Par conséquent, la cardinalité de l’ensemble des nombres premiers est la même que la cardinalité de l’ensemble des entiers naturels.

    philippe : je n’ai pas de sources ; il s’agit de connaissances personnelles. Pour info, je soutiens très bientôt une thèse de doctorat en mathématiques.

    Mycroft encore : désolé, je n’ai pas vraiment compris ton premier paragraphe :-/ (faut dire aussi que je viens de m’envoyer 2,5L de bière par personne avec des Autrichiens…). Pour ton deuxième paragraphe, il s’agit d’un paradoxe bien connu. D’un point de vue physique, ce paradoxe s’effondre. En effet, on ne peut pas indéfiniment arriver à une distance parcourue infiniment petite car il existe une plus petite distance ayant une cohérence physique (la longueur de Planck). Il existe même une version plus subtile de ce paradoxe : le lièvre et la tortue. Un lièvre et une tortue font la course, mais la tortue part avec 50m d’avance sur le lièvre. On estime que le lièvre court deux fois plus vite que la tortue. Pourtant, un premier raisonnement tendrait à croire que le lièvre ne rattrape jamais la tortue : en effet, quand le lièvre a parcouru 50m (position initiale de la tortue), la tortue a fait 25m. Elle a donc 25 m d’avance. Quand le lièvre parcourt ces 25m, la tortue a parcouru 12,5m, et ainsi de suite. On a l’impression que la tortue a une éternelle avance sur le lièvre. Certe, mais c’est sans compter une convergence de la serie infinie des sommes des distances parcourues : pour le lièvre, la série 50m + 25m (donc 50/2) + 12.5m (donc 50/4)+ … + 50/2^n mètres tends vers 100m quand n tends vers l’infini. Pareil pour la tortue. Ainsi, notre raisonnement se piège lui-même dans une considération de l’infiniment petit alors qu’il devrait aller au-dela, notament en appliquant le calcul d’une limite.

    Presque de la même trempe (pas tout à fait en fait), voici la colle suivante : un élastique relie le cou d’un cheval à un poteau. Un escargot est posé sur l’élastique, à côté du poteau. Le cheval avance tranquillement à 1m par seconde. L’escargot, qui est à donf, avance à 1mm par seconde. Et pourtant, mathématiquement, l’escargot finit par rejoindre le cheval. Pourquoi ?

  • Je viens de re-relire mon commentaire, et j’ai relevé cette typo dans ma réponse à cosmocat. Au lieu de « Or, si les nombres premiers sont aussi dénombrables », il faut lire « Or, les nombres premiers sont aussi dénombrables ». Les entiers naturels sont bien entendu inconditionnellement dénombrables ^^

  • Cet article repose à mon sens sur une prémisse erronée.

    D’abord, l’infini mérite d’être défini : qui n’a pas de fin.

    De cette façon, qu’on parle d’un ensemble « 0,0001; 0,0002; 0,0003; … » ou d’un ensemble « 1500; 3000; 4500; … », l’infinité est la même. Si le premier ensemble donne l’impression de contenir plus d’éléments, c’est qu’on lui suppose – peut-être inconsciemment – une fin. Or, l’infinité se caractérise par l’incapacité de la quantifier.

  • Je m’attendais à une certaine résistance. Elle est tout à fait compréhensible : les notions tournant autour des infinis sont souvent contre-intuitive, ou pour être plus exact, nous n’avons pas l’intuition de ce que sont les infinis…

    Visiblement, l’argument de l’infinité du nombre de nombres entre deux nombres a et b quelconque dans les réels, quelque soit la « proximité » de a et b, n’a pas suffit à te convaincre pour te montrer que cette infinité est infiniment plus grand que l’infini des entiers. Alors essayons autre chose.

    L’ensemble des entiers est dénombrable, celui des réels indénombrable, c’est là que repose la différence. Quand on prends l’ensemble des entiers (0, 1, 2, 3, …) et l’ensemble de leur multiplication par deux (0, 2, 4, 6, …), même si ce dernier ensemble est inclu dans le premier et semble deux fois plus petit, il a la même cardinalité que l’ensemble des entiers. Cela se démontre facilement par la correspondance suivante : à 0 du premier ensemble on fait correspondre 0 du deuxième ensemble (que je note 0->0). Pour le reste, on a 1->2, 2->4, 3->6, 4->8, … Il est facile de voir que on peut faire la correspondance inverse : 0<-0, 1<-2, 2<-4, 30.0 , 1->1.0 , 2 ->2.0, … C’est une correspondance injective, c’est-à-dire qu’à tous les éléments du premier ensemble on peut faire correspondre un élément du second. Par contre, on voit qu’entre chaque élément 0.0, 1.0, 2.0, … il existe une infinité d´éléments à qui on ne peut pas faire de correspondance réciproque. Par exemple, 0.0123456789, on le ferait correspondre avec quel élément unique entier ? 0 ? Non, parce que 0 serait déjà pris par 0.0 (0.0->0). 1 ? Pareil, déjà pris par 1.0->1. Bref, il n’existe pas de correspondance réciproque, démontrant que la cardinalité de l’ensemble des réels est plus grande que la cardinalité de l’ensemble des entiers.

  • Je reprend le dernier paragraphe car il y a eu un pb apparement.

    L’ensemble des entiers est dénombrable, celui des réels indénombrable, c’est là que repose la différence. Quand on prends l’ensemble des entiers (0, 1, 2, 3, …) et l’ensemble de leur multiplication par deux (0, 2, 4, 6, …), même si ce dernier ensemble est inclu dans le premier et semble deux fois plus petit, il a la même cardinalité que l’ensemble des entiers. Cela se démontre facilement par la correspondance suivante : à 0 du premier ensemble on fait correspondre 0 du deuxième ensemble (que je note 0->0). Pour le reste, on a 1->2, 2->4, 3->6, 4->8, … Il est facile de voir que on peut faire la correspondance inverse : 0<-0, 1<-2, 2<-4, 30.0 , 1->1.0 , 2 ->2.0, … C’est une correspondance injective, c’est-à-dire qu’à tous les éléments du premier ensemble on peut faire correspondre un élément du second. Par contre, on voit qu’entre chaque élément 0.0, 1.0, 2.0, … il existe une infinité d´éléments à qui on ne peut pas faire de correspondance réciproque. Par exemple, 0.0123456789, on le ferait correspondre avec quel élément unique entier ? 0 ? Non, parce que 0 serait déjà pris par 0.0 (0.0->0). 1 ? Pareil, déjà pris par 1.0->1. Bref, il n’existe pas de correspondance réciproque, démontrant que la cardinalité de l’ensemble des réels est plus grande que la cardinalité de l’ensemble des entiers.

  • Ces infinis restreignent l’infini à la vision des mathématiques contemporaines. Elles sont une formalisation définie pour répondre aux besoins mathématique de modéliser l’infini. Pendant longtemps l’infini était une valeur suffisamment grande pour ne plus représenter quelque chose de dénombrable. Selon les culture, cette valeur était souvent 1000 ou 10000.
    Cependant le véritable infini est une notion religieuse représentant à la fois la plénitude et l’unicité. A ce titre l’infini est indénombrable puisqu’il est à la fois unique et multitude. (donc match nul sur le plusieurs infini)

    Pour ceux qui ont encore mal aux crane avec les infinis des nombres entier et des nombres réel de kae, réfléchissez aux problème de des marche d’escalier. La distance sur une infinité de petite marche d’escalier est elle égale à la ligne droite du sommet aux bas des escalier.
    Pour visualiser le problème des escaliers, comprendre et apprendre plein de choses sur l’infini, jeter un œil ici:
    http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/Nombre/InfiniP1.htm
    (les escaliers sont dans approche des infinis)

  • Je viens de jeter un oeil sur le lien proposé par alphee et ne trouve pas ce site bien sérieux. J’y ai relevé quelques erreurs assez rapidement. Par exemple, un problème indécidable n’est pas aussi vrai que faux. C’est un problème pour lequel il n’existe pas de moyen automatisé de décider si un énoncé du problème est vrai ou faux.

    Par contre, j’appuie cette anecdocte ; il est vrai que dans certaines cultures anciennes (et même peut être actuelle, je ne sais pas), le nombre 1000 désignait l’infini (ou pour être plus rigoureux, désignait l’idée d’infinité). Ainsi, les contes des mille et une nuits récités par Shéhérazade au sultan pour ne pas se faire trucider le lendemain présente l’idée qu’elle avait une infinité d’histoire à raconter, et même au dela, afin d’assurer sa survie.

  • @Kae : si tu entends par sérieux, mathématiquement pertinent, certes il ne l’est pas. Comme tu le dis, au premier coup d’œil on s’aperçoit qu’il ne s’agit pas d’un site de théorie mathématique.
    Je l’ai cité car c’est un site de vulgarisation où on peut visualiser un peu plus facilement la différence entre les infinis dont tu parles. La différence entre un aleph 0 (infini entier) et un aleph 1 (infini réel) est peut être assez difficile à cerner. C’est difficile de l’expliquer à quelqu’un dont on ne connais pas les connaissances mathématiques. Toi-même dont les connaissances sont supérieures, tu te perds dans des approximations difficiles à suivre. (tout ceci n’est pas une critique, kae, ne le prends pas mal).

    Dans mes premiers cours de maths, le problème a été posé comme ça:
    On prend une droite qui symbolise tout les nombres réels. Sur cette droite vous ajoutez les entiers. ça fait une jolie graduation mais c’est pas très dense. Vous ajoutez toutes les fractions. ça devient nettement plus dense. c’est toujours dénombrable puisqu’une fraction est un nombre dénombrable divisé par un autre nombre dénombrable. Continuez d’ajouter tout les nombres que vous pouvez créer à partir de ces nombres (via des racines cosinus ou tout ce que vous voulez). Tous ces nombres sont dénombrable car vous les avez créés à partir de nombres dénombrables. Cependant il reste une infinité de nombres sur la droite que vous n’avez pas ajouté en dépit de l’infini densité de nombre que vous y avez mis. Ces nombres tel que pi, e ou phi, sont indénombrables car il n’y a pas de méthode pour les créer à partir de nombres dénombrables.
    L’infini des Entiers ne suffit pas à décrire les réels. c’est pour cela que l’infini des réels est plus grand.
    J’espère que ça aide ceux qui ont trop picolé hier.

    Sinon l’autre raison pour laquelle j’ai cité ce site, c’est qu’il parle d’autres choses que de mathématiques. Un peu de philo, de religion et a la fin de la partie 2 un historique de la pensée de l’infini.

  • Waow, mais elle est pas mal du tout cette explication ! Et non, je ne prends pas mal la critique si elle est justifiée (et là, elle l’est :-p).

    J’en profite pour mettre le doigt sur des erreurs que j’ai écris dans mes précédent commentaire (car comme tout mathématicien, j ai horreur de l’inexactitude et de l’erreur, surtout les miennes) :
    * La cardinalité de l’ensemble des réels est 2 puissance Aleph_0, et non Aleph_1 comme je l’ai affirmé. Même si on s’en doute, on ne sait pas si 2 puissance Aleph_0 est égal à Aleph_1.
    * La série concernant la course lièvre/tortue ne converge pas bien sûr, donc sa valeur n’est pas 100 quand n tends vers l’infini, mais ce que je voulait dire, c’est qu’à un moment, le lièvre a courru 100m, ce qui est un point de rencontre avec la tortue qui elle a parcourru 50m.

    Par contre, je ne vais pas trop mettre les pieds dans le plat car je ne souhaite pas lancer un débat sans fin (sans jeu de mots), mais je n’apporte pas de crédit à des arguments affirmant sans détour quelque chose qui reste du domaine de l’improuvable et du ressenti, comme par exemple que « le véritable infini est une notion religieuse ». Ces affirmations dénués de sens m’ont toujours horripilées, essentiellement parce qu’elles rabaissent les idées et convictions d’autrui. En effet, pourquoi la notion religieuse d’infini serait-elle véritable, ou supérieure à d’autres notions ?

  • Kae > Je pense que je vais me limiter à ta colle pour l’instant :). L’élastique peut-il être considéré comme infiniment étirable ou non ?

  • Absolument (très bonne question au passage). Mais pour ne pas te mettre sur une fausse voie, l’élastique n’est là que pour meubler la devinette. L’escargot se déplacerait par terre que ça ne changerai rien. Supposons aussi que le cheval et l’escargot se déplacent sur un plan infini, et non sur une planète ronde. Comme ça, personne ne me sortira le coup du cheval qui fait le tour de la Terre…

  • Moi je pense que 1000 c’est un peu l’infini parce que c’est quand même 1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1… enfin je veux dire : qui a déjà compté jusqu’à 1000 pour de vrai? 🙂

  • Je me répète. L’erreur commise ici est de penser qu’il soit possible de quantifier l’infini. Vous le faites implicitement en prétendant que tel infini puisse être plus grand que tel autre.

    L’ensemble des ensembles est effectivement considéré comme « dénombrable infini ». Ça veut simplement dire qu’il est possible de l’écrire (1, 2, 3, 4, …, n) sans répétition ni ommission. Cela ne donne pas à l’infini un caractère soudainement quantifiable.

    S’il y a évidemment un nombre de nombres plus élevé entre a et b si on parle de tous les nombres plutôt que seulement des entiers, l’erreur, encore une fois, est de prêter à l’infini un point b.

  • Il n’y a pas d’erreurs. Mais comme je vois que ni mes arguments ni ceux des autres ne te conviennent pas (ce qui n’a rien de condamnable en soit, cela va sans dire), je t’invite à lire ceci : http://fr.wikipedia.org/wiki/Nombre_cardinal#Cardinal_infini (un peu chaud pour le non-initié) ou encore mieux, le fameux « Naive Set Theory » de Paul Halmos où l’on retrouve entre autre de très bonnes explications sur les cardinaux et les ordinaux.

  • Et bien, ça commente sec dans le coin ! Et ne comptez pas sur moi pour apporter mon grain de sel, j’y pane que dalle ! ^^

  • Pas mieux Billx 🙂

    Kae > Où est-ce que tu vois que les messages sont tronqués, je vois bien ton commentaire en entier dans mon navigateur.

  • Pour l’instant Kae, à moins que tes 2 coureurs n’évoluent pas dans le même espace-temps, je trouve pas 😛

    PS : Hé les gars, les commentaires qui font 15 lignes avec les cardinaux et companies, j’ai pas la force aujourd’hui, vous êtes pas seuls 🙂

  • Bastien : les commentaires 11 (dernier paragraphe) et 12 sont tronqués. C’est d’ailleurs pour cela que j’ai repris le commentaire 11, mais le 12 présente le même problème.

    Vers le milieu : « voir que on peut faire la correspondance inverse : 0<-0, 1<-2, 21.0 , 2 ->2.0, … C’est « . Je n’ai jamais écris 30.0 : il a fusionné deux lignes et en a sauté 5 ou 6 ! Et le plus étrange, c’est qu’en reprennant ce paragraphe dans le commentaire 12, j’ai complété le trou avec des mots forcement différent que ceux que j’avais tapé à l’origine. Étrange, non ? Donc y’a un ch’tit bug quelque part…

    Mycroft : Par rejoindre j’entend qu’ils se touchent vraiment. Ce n’est pas un écart qui tend vers 0. ceci dit, la solution est vraiment ultra contre-intuitive. Je la connais, mais elle me reste inintelligible.

    Marc : Si tu parles du problème du cheval et de l’escargot, non. D’ailleurs je ne vois pas où tu vas chercher la notion de densité ici. Si tu parles du bug dans les commentaires 11 et 12, non plus : ils n’ont pas la même longueur mais ils présentent le même bug. Et mon commentaire 8 était aussi très dense, mais il est passé sans problème.

  • Bon ben langue au chat alors, le lycéen demande la réponse au doctorant, s’il peut la formuler de manière disons « logique » ca devrait aller (sinon je vais pas dormir de la nuit ^^’ !!)

  • Kae : Quand je parle de densité je veux dire que N est dense dans R et non que tu écris trop 🙂

    La densité ici permet de comprendre le problème suggéré par l’article 🙂

  • Bon d’accord, je pensais laisser traîner plus longtemps mais je m’en voudrai que tu ne dormes pas à cause de cela :-p

    Posons le poteau comme étant l’origine, donc le point 0. Au départ, disons que le cheval est à 1m du poteau. Pour simplifier le raisonnement, on va considérer des mouvements asynchrones : l’escargot avance pendant 1s, puis s’arrête. Le cheval avance pendant 1s puis s’arrête, et on recommence.

    L’escargot avance donc pendant 1s à 1mm/s, il parcours donc 1mm, c’est à dire 1/1000e de la distance à faire pour atteindre le cheval. Le cheval avance pendant 1s à 1m/s. Il est donc maintenant à 2m du poteau. L’escargot avance, et parcours donc 1/2000e du chemin qui fait maintenant 2m. Ainsi de suite.

    Au bout de n secondes, l’escargot à donc parcouru 1/1000e + 1/2000e + 1/3000e + … + 1/n*1000e du chemin à faire pour rejoindre le cheval, c’est-à-dire (1 + 1/2 + 1/3 + … + 1/n)/1000e du chemin. Or, la série en numérateur de cette fraction est une série connue pour diverger, c’est-à-dire que sa limite quand n tends vers l’infini est l’infini (il s’agit de la série harmonique). Par conséquent, il existe forcement une valeur n telle que cette série atteindra la valeur 1000. 1000/1000 = 1, signifiant que l’escargot a parcouru le chemin en entier jusqu’au cheval. Si ça c’est pas du contre-intuitif…

    Merci au passage à un collègue qui m’a rappelé clairement cette explication que j’avais oublié. Sans lui, je me serai grave mêlé les pinceaux.

  • Attends, je la relis une cinquième fois :D. Trêve de plaisanterie, ça sera pour demain, merci pour la solution.

  • Bonjour Kae !

    Je cherchais quelque chose dans Google, et les méandres du net m’ont fait tomber (je ne me suis pas fait mal, je te rassure) sur ce site, et sur ton post.
    Et là je me dis : woaw, ça m’a l’air pas mal tout ça ! 🙂
    Je suis moi-même de formation scientifique quand j’étais plus jeune (pas dans le domaine mathématique mais biologique, mais j’adorais les maths et les sciences en général), et je peux déjà affirmer à ceux qui seraient éventuellement réticents que tout ce que tu dis est vrai (mais on s’en doutait !), mais surtout que tu présentes les choses de manière claire et bien structurée. J’aime quand les « scientifiques » arrivent à vulgariser leurs connaissances tout en restant formel.
    Pour ton énigme, j’ai failli trouver la solution de moi-même, malheureusement je n’avais pas pensé à présenter la série de telle manière à ce que la série en numérateur apporte la solution (la série diverge) 😉 Mais je m’en souviendrai pour une prochaine fois, car effectivement cette contre-intuition n’est vraiment pas facile à expliquer à tout un chacun (même là, nous sommes obligés de recourir à l’argument mathématique dans la vulgarisation, ce qui rebutera pas mal de monde :p) !
    A noter pour essayer d’étayer cette explication : il faut essayer de calculer les premières sommes partielles de la série harmonique en numérateur. On croirait de prime abord que la suite de nombres obtenus est croissante et qu’elle ne bouge pas super vite, on peut même penser qu’elle atteint une espèce de plateau presque stationnaire (donc une série convergente). Pourtant, avec n de plus en plus grand, on s’aperçoit que la n-ième somme partielle de la série augmente inexorablement, et on a un comportement de type logarithmique en n : la série diverge vers +infini.
    Je ne sais pas si je suis très clair, et j’espère ne pas avoir introduit d’erreur là-dedans (je ne suis pas mathématicien ! :p) ..

    J’essaie de réfléchir pour rendre cette solution avec de « simples » mots sans notions mathématiques, mais je me retrouve pour le moment le bec dans l’eau ..

    Bien à toi !

  • Contrairement au commentaire 20, l’élastique n’est pas la pour combler la devinette, c’est la base du raisonnement.
    En faisant un raisonnement continu, je trouve e^100-1 secondes pour rejoindre le cheval ce qui fait 8.5e+35 années. le cheval serait a une distance de 2.7e+43 m soit 1e+17 fois la distance du plus lointain quasar observé.
    Un escargot peut espérer vivre au mieux dix ans, un cheval 20 à 30 ans. c’est mal barré pour l’escargot sauf mort très prématurée du cheval.

  • On va dire alors que c’est des robots avec de piles nucléaires comme ça on écarte l’hypothèse du viellissement par oxydation de ces deux être pluricellulaires!

  • On peut se dire que durant ce temps l’univers entrera peut-être en big crunch et que le rayonnement issu de l’escargot « touchera » le rayonnement issu du cheval

  • @Irhondril : merci pour ton commentaire ; je suis heureux que l’article te plaise. C’est rare de voir un biologiste s’intéresser aux maths, et on voit que tu as des connaissances allant au dela de la majorité des biologistes. D’ailleurs, j’ai trouvé ton explication très claire !

    @alphee : non, le calcul ci-dessus est bien pour un système sans élastique. Par contre, ton commentaire mes fait réaliser ceci : il y a un problème dans le raisonnement, car il est absolument impossible que l’escargot rejoigne le cheval en temps fini. L’idée de départ était qu’ils se rejoignent en temps infini à une distance infini du poteau, montrant une nouvelle fois que l’infini est une notion complexe. Je vais donc réfléchir à ce qui ne colle pas.

    @lieutenant : sympa ton commentaire, j’aime beaucoup ^^

    @Billx : n’abuse pas trop du beurre d’escargot ; ça m’a rendu bien malade une fois.

  • Je pense avoir trouvé.

    En fait, le calcul présenté plus haut serait le calcul a appliquer si l’on voulait résoudre le problème suivant : le cheval est à 1m de l’escargot et n’avance pas. L’escargot, lui, avance un premier coup à 1mm/s mais divise sa vitesse par deux à chaque seconde. Il atteindra le cheval en temps fini, temps qui a été calculé par alphee.

    Pour le problème d’origine, en fait c’est si simple qu’il n’y a plus de problème : en temps infini, il a clair que le cheval et l’escargot seront tous les deux à une distance infini du poteau. Est-il alors mathématiquement juste de dire qu’ils se rejoignent ? Ben, oui et non : nous avons tellement peu d’intuition sur l’infini que des arguments des deux côtés seront recevables…

    Du coup, je demanderai à mon collègue ce qu’il en pense. Ça tombe bien, je le revois bientôt !

  • Sympathique article et cools commentaires.

    Perso, pour la devinette du cheval et de l’escargot, je parirais pour le cheval. En effet, quand il verra le petit escargot sur ces talons, je pense qu’un coup de sabot lui donnera la victoire et peut être même un petit apéritif…

  • je parierais sur*
    Il faudrait une fonction edit sur les commentaires… (ce n’est pas très difficile à coder 🙂 !)

  • Je reste persuadé que dans l’énoncé initial l’élastique est nécessaire car c’est lui qui assure que le millième parcouru au coup d’avant reste un millième du chemin au coup d’après (l’élastique s’étire aussi derrière lui)
    Pour pinailler un peu, je dirais que l’hypothèse asynchrone est ici favorable à l’escargot. on aurait pu faire un encadrement avec le cheval qui se déplace le premier (bien que ce soit pas sympa pour l’escargot).

    Pour le nouvel énoncé je dirais qu’il faut que la vitesse soit 1,1/2,1/3,1/4… de la vitesse d’origine. Sinon la série est en 1/2^n et ne diverge pas. l’escargot risque de s’arrêter avant.

  • Ouaip, bien vu sur les termes de la série. En effet, l’escargot ne doit pas diviser sa vitesse par deux toutes les secondes mais par (n+1)/n à chaque seconde n.

    Bien vu aussi sur l’élastique : en effet son étirement garde les proportions ! J’avais fait les calculs en prenant en compte l’élastique, non pas sur le raisonnement de la distance « marchée » mais sur la distance effective parcouru (donc « marchée » + déplacé par l’étirement de l’élastique). Ça donnait une série assez compliquée, et je n’ai ni eu le temps ni le courage d’étudier sa divergence.

    Donc je m’incline : l’élastique ne meuble pas. C’est bien vu !

  • Bonjour,
    J’ai quand même un problème avec cette histoire d’escargot :
    afin d’identifier l’éventuel point ou les deux bestioles se rejoindront, nous pourrions évaluer la distance qui les sépare en n (facile pour certains!) et démontrer que la suite converge, et vers zéro.
    Parce que le fait que tous les deux aillent vers l’infini semble clair, mais j’ai l’impression que leur écart croît!

  • la distance qui les sépare est de 1000-(ln(1+t))/10 mm où t représente la durée en seconde. Si tu résous l’équation 1000-(ln(1+t))/10 = 0. tu obtient la durée e^100-1 que j’ai annoncé plus haut.

  • Plutôt que d’annoncer des valeurs en vrac, je vais expliquer le calcul continu pour que cela profite à tout le monde (c’est le principe du site je crois)
    Attention, c’est des maths. Âmes sensibles s’abstenir.
    La vitesse de l’escargot par rapport à son point d’origine est la somme de sa vitesse propre (1 mm/s) et de la vitesse du point de l’élastique par rapport au poteau.
    Cette dernière est due à l’étirement de l’élastique. Elle est proportionnelle au pourcentage parcouru de l’élastique. A 0% du poteaux elle est nulle, à 100% elle est égale a la vitesse du cheval.
    Mettons tout ça en chiffre.
    L’élastique fait 1000 mm et s’étend chaque seconde de 1000. On a donc
    E(t) = 1000 + 1000t
    La vitesse E'(t) = 1000 correspond à la vitesse du cheval
    Notons x(t) la position de l’escargot et y(t) la proportion de l’élastique parcourue. on a :
    y(t) = x(t)/E(t) (et donc x(t)=y(t).E(t))
    Comme vu plus haut la vitesse de l’escargot est :
    x'(t) = 1 + y(t).E'(t) (vitesse propre de l’escargot + proportion de la vitesse de l’élastique)
    notons pour plus tard que y(t).E'(t) = x'(t)-1

    On a dit que x(t) = y(t).E(t) Dérivons cette expression. On se rappelle de la formule pour la dérivé d’un produit:
    x'(t) = y'(t).E(t) + y(t).E'(t)
    donc
    x'(t) = y'(t).E(t) + x'(t)-1 (on a dit plus haut y(t).E'(t)=x'(t)-1)
    On simplifie l’expression
    y'(t).E(t)=1
    y'(t)=1/E(t)
    y'(t)=1/(1000+1000t)
    On calcule la primitive
    t
    y(t)= { 1/(1000+1000t) dt + A
    0
    Pour t=0 y(t)=0 (l’escargot part du poteaux) donc A=0

    La proportion parcouru est donc
    t
    y(t)= { 1/(1000+1000t) dt
    0
    t
    y(t)= 1/1000 * { 1/(1+t) dt
    0
    On intègre
    y(t)= 1/1000 * ln(1+t)

    Pour que l’escargot arrive au bout il faut que y(t)=1 (x(t)=E(t))
    1=1/1000 * ln(1+t)
    ln(1+t)=1000
    1+t=e^1000

    t=e^1000-1 secondes

    Conclusion: personne n’a corrigé mon erreur à propos de e^100-1. bouh!!!

  • problème technique se suppression d’espace (c’est pas facile d’écrire une integrale):
    t
    y(t)= { 1/(1000+1000t) dt
    0
    signifie bien entendu l’intégrale de 0 à t de 1/(1000+1000t)

  • Forcément, c’est plus clair.
    Rien de tel qu’une bonne petite construction mathématique pour remettre les idées en place!

    En ce qui concerne l’infini des nombres entiers, j’aimais bien la définition (par l’exemple) suivant, qui reprend en partie ce qui a été dit plus haut, et qui me semble assez simple à comprendre pour l’homme de la rue :

    Prenons les nombres entiers et les nombres pairs.
    A tout nombre entier correspond un seul nombre pair (je le multiplie par deux)
    A tout nombre pair correspond un seul nombre entier.
    Il y a donc autant de nombres pairs que de nombre entiers (ces deux ensemble sont en bijection, ils sont en correspondance un à un)
    Pourtant, on voit bien qu’il y a moins de nombres pairs que de nombres entiers (on pourrait dire « environ la moitié »!
    Les nombres pairs représentent une partie des nombres entiers.

    D’où une des définitions de l’infini pour un ensemble :
    « Un ensemble est infini si il est en bijection avec une partie de lui-même »

    Magique, l’infini…

  • C’est en effet une bonne définition de l’infini (si la partie est une partie stricte)
    Puisqu’on est tous (enfin presque) à se poser des questions sur les degrés d’infinité, une interogation intéressante de notre temps est l’hypothèse du continu.
    On a vu que l’infini des réels était d’un ordre d’infinité plus grand que celui des entiers.
    L’infini des entier est le plus ‘petit’ infini que l’on connaisse. En effet pour être plus petit que l’infini des entier, cela voudrais dire qu’on peut le compter avec un nombre fini d’élément donc, qu’il n’est pas infini (si on exclut les notions religieuses du raisonnement).
    En tant que plus petit infini on le note aleph 0.
    On note aleph 1 le plus ‘petit’ infini qui soit plus ‘grand’ qu’aleph 0.
    Cela veut dire que cet ensemble est indénombrable, qu’on ne pas trouver de bijection entre les entier et cette ensemble. L’ensemble des réels est comme on l’a vu plus haut dans ce cas.
    La grande question que l’on se pose est de savoir si l’ensemble des réels est un aleph 1.
    Si il ne l’est pas, cela voudrait dire qu’il existe un ensemble de nombre qui fasse parti des réels qui ne soit en bijection ni avec les entiers ni avec les réels.
    L’hypothèse du continu affirme que l’ensemble des réel est un aleph 1.
    Cela fait un siècle que les mathématiciens essai de le prouver (ou de le réfuter) en ajoutant de nouveaux axiomes en vain. Régulièrement on prouve qu’on ne peut le prouver avec les nouveaux axiomes en place.
    Le débat sur l’hypothèse du continu partage bien les mathématicien ensembliste.

    Alors Kae, continu ou pas continu?

  • J’aime bien aussi la définition de Robaragon.
    Je continue pas trop l’affaire en ce moment : je dois rendre ma thèse cette semaine (roh le jeu de mot pourri).

  • Mais pour de vrai,

    Zéro n’existe pas.
    S’il existe, il est quantifiable, donc l’opposé de lui-même.

    L’infini n’exite pas.
    S’il existe, il est fini, et quantifiable aussi, donc l’opposé de lui-même.

    Chuck Norris a déjà compté jusqu’à l’infini.
    Deux fois

  • > lieutenant dit :

    > Moi je pense que 1000 c’est un peu l’infini parce que c’est quand même 1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1… enfin je veux dire : qui a déjà compté jusqu’à 1000 pour de vrai?

    héhé ! mon fils, de 5 ans 😉

  • (un peu) dans le genre, il y a aussi
    0.99999999999 (avec des 9 jusqu’à l’infini) = 1

    Mon prof de math nous avait fait la démonstration (par l’absurde) en classe de 2nde, ça m’avait laissé un bon souvenir…

  • J’en ai discuté hier soir avec un ami. Effectivement, c’est quelque chose qui me perturbe et qui m’échappe (ah, l’infini et ses conséquenses contre-intuitives…).

    Une idée de démo simple de cet ami :
    On prend x = 0,99999999…
    On multiplie x par 10. On décale donc la virgule, et ça nous donne 9,999999…
    Mais, on remarque que ce chiffre est également 9 + x, n’est-ce pas ?
    On a donc 10x = 9 + x, d’où x = 1.

  • Bien évidemment, ce raisonnement est faux : 0.99999… n’est pas égal à 1.
    Puisque erreur il y a, je pense que c’est au niveau du 0.9999999… Mathématiquement, ce truc est absurde, puisqu’il devrait pouvoir se mettre sous la forme 999999…/0.1, ce que renierait tout bon matheux. J’ai bon Kae ?

    PS : Mon prof de maths l’avait démontré en Premiere, on avait halluciné, petits lycéens que nous étions (citation direct de mon prof ^^)

  • Comme le montre la démo de kae, x=1. Ce nombre n’est pas inférieur à 1 et contrairement à ce que son écriture peut laisser penser, c’est un entier.

  • pour ceux qui on du mal avec les maths la démo de kae
    1 – 0.9999999… = 0.000000000000….
    Ce nombre ne contient que des 0 et jamais de 1 ou d’autres choses . jamais.
    Ce nombre est zéro.
    donc: 0.99999999999 (avec des 9 jusqu’à l’infini) = 1

  • excellent billet, je le trouve très clair et parlant. Moi qui ne suis pas mathématicien pour un sou, j’ai tout compris et comme beaucoup de gens, je pensais que l’infini c’était l’infini, maintenant je me rends compte que c’est plus complexe et plus passionnant que ca !

  • Je reprends la démonstration citée par Kae : En prenant un nombre infini de « 9 » au nombre 0.9999 et par conséquent à son image 9.9999 (désolé de parler d’image c’est le seul terme qui m’est venu à l’esprit :s) on a effectivement x=1; ce qui est absurde bien sûr.. Mais on peut aussi faire la même démarche avec 0.555555 et 5.555555, on obtiendra 10x = x+5 d’où x= 5/9 et c’est là où ça devient énervant.. ^^
    Il semble en fait que lors de la multiplication par 10 en décalant la virgule on soit obligé d’admettre rationnellement (physiquement ?) qu’il faille rajouter un 0 une infinité de nombres plus loin. Ainsi, on obtient notre x = 0.9999…990 ou x = 0.5555…5550
    Qu’en dites-vous ? Je ne suis qu’un pauvre lycéen innocent, mais il semble que la dérogation de règles soit nécessaire à la rationnalisation des maths, comme est censé l’illustrer cet exemple.
    Merci de votre courage, c’est pas toujours agréable de lire quelqu’un qui ne s’y connait pas essayer de (dé?)montrer que les maths c’est de la masturbation intellectuelle 😉

  • Tout d’abord, je m’indigne (puisque c’est à la mode) ! ^^ Les maths ne sont pas de la masturbation intellectuel mais une réelle gymnastique intellectuelle aux applications extrêmement variées.

    Ensuite, je vois que tu n’as pas parfaitement saisi mon exemple. On ne prend aucun « 9 » au nombre 0,999999… ni à 9,999999…, et le fait que 0.9999999… soit 1 n’a rien d’absurde. Ça illustre juste le fait que l’infini est une notion complexe et souvent contre-intuitive. Reprend le calcul proposé ci-dessus, et tu verras qu’il n’y a pas d’erreur et que ce simple calcul reste très logique.

    De plus, il n’y a aucun rapport avec 5/9. La fraction 5/9 faut bien 0.5555555… (une infinité de 5 après la virgule). Je ne vois pas où est le problème ni aucune notion contre-intuitive ou énervante ici. Peut être as-tu pris ta calculatrice pour voir combien vaut 5/9, et tu as constaté que ça faisait 0.5555556. C’est ici la parfaite illustration de limites informatiques. Pour représenter un nombre, il faut d’abord le stocker en mémoire. Or, avec une infinité de 5 après la virgule, il faudrait une mémoire infinie, ce qui est évidemment impossible. Ta calculatrice fait donc avec ce qu’elle a, et quand elle arrive aux limites de sa capacité de précision (en fonction de la taille de sa mémoire), elle s’arrête après un certain nombre de chiffres après la virgule et elle arrondie à la valeur la plus proche (ici au supérieur, donnant un 6 à la fin). Mais la vrai valeur de 5/9 est bien 0,55555555…

    Pour info, c’est ce que l’on appelle un nombre ultimement périodique, c’est-à-dire qu’à partir d’un certain moment après la virgule, on retrouvera une répétition infini d’un « motif » de chiffres, ici ‘5’. Par exemple, 3,1234090909090909… avec une infinité de 09 est un nombre ultimement périodique. Or, tous ces nombres sont représentables sous forme d’une fraction !

    Et je terminerai par cette citation de Erdös (paraît-il) : « Une personne n’aimant pas les Mathématiques ne peut pas être complètement humaine ». ^^

  • En parlant des « 9 » je décide en fait de compter le nombre de décimales qui se doit d’être infini pour que x = 1
    Ensuite, je n’ai pas pris ma calculatrice pour effectuer 5/9 (en fait si mais je me doutais du résultat^^) mais j’ai plutôt utilisé la même méthode que la première afin de voir si le résultat du x était « d’apparence faux car tendant plus vers une infinité de 9 qu’une infinité de 0 »
    Mais je réalise mon erreur, je suis en fait parti du principe que 0.9999..99 était différent de 1, en fait peut-être sont-ils égaux, je suis d’autant plus d’accord avec toi quand tu dis que la notion d’infini est totalement contre-intuitive en effet^^
    J’aime bien cette citation, et j’en profite pour citer moi-même à mon tour quelqu’un de plus perspicace pour finir en beauté :
    « Et je terminerai par cette citation de Erdös (paraît-il) : « Une personne n’aimant pas les Mathématiques ne peut pas être complètement humaine ». ^^ »

  • Pardon, je me suis mal expliqué : J’ai considéré que x = 5/9 était contradictoire avec un autre x = 1 en suivant la même méthode (je pars donc du principe que la méthode serait valide si pour 0.555…55 j’avais trouvé un x = un nombre non ultimement périodique)
    Bref, d’après la citation je pense être aussi humain que toi 😉
    On pourrait peut-être en discuter sur un.. FORUM ! Aller, au boulot !
    J’y pense, tu nous ferais une explication sur le principe de fractale ? J’apprécierais beaucoup un tel article. Et maintenant.. Bonn après-midi ^^

  • Une autre approche :

    0,999999…= Som(n=1 à l’inf)9×10^-n = Som(n=1 à l’inf) (10-1)x10^-n
    = Som(n=1 à l’inf) 10^-n+1 – som(n=1 à l’inf) 10^-n
    =10^0 + Som(n=2 à l’inf) 10^-n+1 – som(n=1 à l’inf) 10^-n
    =1+ som(m=1 à l’inf) 10^-m – som(n=1 à l’inf) 10^-n (en posant m=n-1 dans la première série)
    Et donc, on obtient bien 0,999999…. = 1

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